توصيفگر ها :
بعد متناهي گون تصويري , بعد متناهي گون تخت , رسته‌ي بافه‌هاي شبه - منسجم , حلقه‌ي n- كامل , كويورهاي ريشه‌دار , نمايش‌هاي تصويري , نمايش‌هاي تخت
چكيده فارسي :
فرض كنيم R يك حلقه‌ي شركت‌پذير و داراي عضو هماني باشد. رسته‌ي همه‌ي R-مدول‌هاي چپ را با R-Mod و رسته‌ي همه‌ي R-مدول‌هاي متناهياً توليد شده را با
R- mod
نمايش مي‌دهيم. بعد تصويري متناهي‌گون كوچك چپ R را با نماد fPD(R) نمايش داده و به‌صورت زير تعريف مي‌كنيم
fPD(R) := Sup {pd(M) | M € R-mod به صورتي‌كه pd(M)<∞ }
به همين ترتيب بعد تصويري متناهي‌گون بزرگ چپ را با نماد FPD(R)
نمايش داده و به‌صورت زير تعريف مي‌كنيم.
FPD(R) := Sup { pd(M) | M € R-Mod به صورتي‌كه pd(M)<∞ }
با توجه به تعريف بالا واضح است كه
fPD(R)≤FPD(R)
و از متناهي بودن FPD(R) مي‌توان متناهي بودن fPD(R) را نتيجه گرفت. براي نخستين بار هيمن باس در سال 1960 در {Ba60} دو مسأله درباره‌ي اين بعدها را به‌صورت زير بيان كرد كه به حدس‌هاي بعد متناهي‌گون مشهور شدند. اگر A يك جبر با بعد متناهي روي ميدان K باشد آن‌گاه
(1)FPD(A)=fPD(A)
(2)fPD(A)< ∞
اين رساله، به مطالعه‌ي دو مسأله فوق در حالت‌هاي كلي‌تر اختصاص دارد. بدين صورت كه ابتدا بعد متناهي‌گون تصويري و تخت را بيان كرده و به بررسي روابط ميان آن‌ها در حالت‌هاي مختلف مي‌پردازيم. سپس بعد تخت متناهي‌گون را براي رسته‌هاي بافه‌ها معرفي مي‌كنيم. زيرا در حالت كلي اين رسته‌ها داراي اشياء به‌اندازه كافي تصويري نمي‌باشند و بعد متناهي‌گون تصويري براي اين رسته‌ها تعريف نشده است. براي انجام اين كار از اشياء تخت به جاي اشياء تصويري استفاده مي‌كنيم. در ادامه يك نتيجه كلي‌تر براي گزاره‌ي زير از ينسن در رسته‌ي نمايش‌هاي يك كويور بيان و اثبات مي‌كنيم.
گزاره. اگر
FPD (R)≤∞
آن‌گاه هر R-مدول چپ تخت داراي بعد تصويري متناهي مي‌باشد.
در حالتي‌كه R حلقه‌اي n-كامل است نشان مي‌دهيم كه R-مدول M داراي بعد تصويري متناهي است اگر بعد تخت متناهي داشته باشد و در نتيجه
FPD(R)≤+∞
اگر و تنها اگر
fPD(R)≤+∞.
در ادامه اگر A را يك رسته گروتنديك و R = Rep (Q , A )
را رسته‌اي از A-نمايش‌هايي از كويور Q در نظر بگيريم، با فرض اين‌كه Q يك كويور ريشه‌دار (از سمت چپ) و A داراي مولد تصويري باشد، نشان مي‌دهيم كه بعد متناهي‌گون بزرگ تصويري رسته Aمتناهي است اگر و تنها اگر بعد متناهي‌گون بزرگ تصويري رسته R متناهي باشد. هم‌چنين در حالتي كه Aرسته‌اي از مدول‌هاي چپ روي حلقه‌ي R است، ثابت مي‌كنيم كه اگر
FPD(R)<+∞
آن‌گاه هر نمايشي از كويور Q با بعد تخت متناهي، بعد تصويري متناهي خواهد داشت. علاوه بر آن اگر R را يك حلقه‌ي n-كامل در نظر بگيريم، نشان مي‌دهيم كه
FPD}(R)<+∞
اگر و تنها اگر
چكيده انگليسي :
This Ph.D. thesis is based on the following papers
• R. Bagherian and E. Hosseini, On Finitistic Flat Dimension of Rings and Schemes, Bull. Iranian Math. Soc.
Am. Math. 47, (2021), 255-263.
• R. Bagherian and E. Hosseini, Big Finitistic Dimensions for Categories of Quiver Representations, Math.
Interdisc. Res. x (202x) xx–yy.
Let R be an associative ring with 1 ̸= 0. The big finitistic projective dimension (resp. little finitistic projective
dimension) of R, denoted by FPD(R) (resp. fPD(R)), is defined to be the supremum of the projective
dimensions of the left R-modules (resp. finitely generated left R-modules) having finite projective dimension. The
finiteness of fPD(R) is a celebrated conjecture, called the finitistic dimension conjecture, which was open for more
than 60 years. One of the reasons for the importance of FPD(R) lies in its relation to the fPD(R). It is clear that
the inequality fPD(R) FPD(R) holds. Hence the finiteness of FPD(R) implies the finiteness of fPD(R). In
the introduction of [7], Bass reminded that FPD(R) was introduced by Kaplansky. Furthermore, if A is a commutative
noetherian ring, he proved in [8] that, the inequality FPD(A) dimA holds over A where dimA is the
Krull dimension of A. The reverse inequalify FPD(A) dimA has been proved by Gruson and Raynaud in [17].
Therefore, FPD(A) is finite if and only if Krull dimension of A is finite. Therefore, FPD(A) may be infinite since
the Nagat’s example shows the existence of a commutative noetherian ring of infinite Krull dimensions (see [46]).
Finitistic dimension conjectures have been raised by Bass in [7]. In fact he presented the following two conjectures
(1) fPD(R) = FPD(R);
(2) fPD(R) < 1.
The first Finitistic Dimension Conjecture fails. It was shown by Huisgen-Zimmermann in 1992, that there exists a ring
R such that fPD(R) ̸= FPD(R) ([68]). Later, in [30], Smalø gave an example which showed that the difference
between fPD(R) and FPD(R) can be arbitrarily big. However, the second Finitistic Dimension Conjecture is still
an open problem and efforts are underway to find the answer, see [51].
In this paper Assume that (G; -
-) is a symmetric monoidal closed Grothendieck category. We define the notions
of the big finitistic flat dimension FFD(G) of G and the little finitistic flat dimension fFD(G) of G. We prove that
if G is an n-perfect category then finitistic flat dimensions and finitistic projective dimensions are coincide. In the
case G is the category of all quasi-coherent sheaves over an arbitrary scheme X, we find a minimal requirement
for FFD(X) (resp. fFD(X)) to be finite. In seconed paper, LetQ be a quiver, A be a Grothendieck category and
R = Rep(Q;A) be the category of A-representations of Q. If Q is left rooted and A has a projective generator,
we prove that the big finitistic projective dimension of A is finite if and only if the big finitistic projective dimension
ofRis finite. When A is the category of left modules over a unitary ring R, we prove that if FPD(R) < +1then
any representation of Q with finite flat dimension has finite projective dimension. In addition, if R is n-perfect, we
prove that FPD(R) < +1if and only if FFD(R) < +1.
