16667

1803 دكتري

دكتري

رياضي كاربردي

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1399

ده، [142]ص..: مصور، جدول، نمودار

محمد تقي جهانديده، رضا مختاري

مهدي تاتاري

بيژن ظهوري زنگنه، سعيد وحدتي، صفيه محمودي

1400/08/08

كتابنامه

رياضي

رياضي

1400/08/08

2700271

از زمان پيداش معادلات با مشتقات جزيي، در اكثر موارد، اين مسايل و جواب تحليلي اين معادلات به سادگي در دسترس نيست. يعني تلاش براي حل تحليلي اين معادلات يا به بن‌بست مي‌خورد يا منجر مي‌شود كه جواب‌هاي بسيار پيچيده به‌دست آيند. به همين دليل، استفاده از روش‌هاي عددي بسيار متداول شده ‌است. ما در اين رساله چند نمونه از روش‌هاي عددي متداول را براي حل آن‌ها بيان مي‌كنيم. سپس با روش‌هايي ابتكاري و تركيب روش‌ها، به ارتقاء دقت روش‌هاي قبلي مي‌پردازيم. در ضمن پايداري آن‌ها را نيز مورد بررسي قرار مي‌دهيم و در انتها نتايج عددي حاصل از هر روش را براي مشاهده كارايي آن‌ها بيان مي‌كنيم. در اين رساله، ابتدا برخي تعاريف مقدماتي و ضروري از رياضيات مالي را بيان مي‌كنيم. سپس روش تفاضلات متناهي فشرده مرتبه 6 را براي حل معادله بلك-شولز معمولي مطرح مي‌كنيم. در ادامه معادله بلك-شولز انتگرالي را به كمك يك روش تفاضلات متناهي فشرده كه در آن تركيبي از مشتقات مرتبه اول و دوم نيز استفاده مي‌شوند، حل مي‌كنيم. پس از آن معادلات با مشتقات جزيي تصادفي و معادله هستون را حل مي‌كنيم. روش حل اين نوع معادلات تركيبي از روش‌هاي بدون شبكه و روش تفاضلات متناهي فشرده است. همچنين روش‌هاي توابع پايه شعاعي و روش كمترين مربعات متحرك را باهم تركيب مي‌كنيم تا نقايص اين دو روش را برطرف كنيم. در انتهاي هر فصل نيز نتايج عددي و دقت هر روش را با آوردن جدول و شكل با ديگر روش‌ها مقايسه مي‌كنيم. با مشاهده نتايج عددي در‌مي‌يابيم كه روش‌هاي مطرح‌شده در اين تحقيق، از ديگر روش‌هاي رايج بهتر و دقيق‌تر عمل مي‌كنند.

Since the creation of partial differential equations, in most cases, these problems and their analytical solutions are not available easily. That is, trying to solve these equations analytically either fails or leads to very complicated solutions. So the use of numerical methods has become very popular. In this thesis, we explain some instances of usual numerical methods to solve them. Then, with innovative methods and a combination of methods, we will improve the accuracy of the previous methods. Also, we investigate their stability and finally present numerical results of each method to demonstrate their efficiency. In this thesis, at first, we describe some basic and essential definitions of financial mathematics. Then we describe the compact finite difference method of order 6 to solve the ordinary Black-Scholes equation. Next, we solve the integral Black-Scholes equation using a compact finite difference method in which a combination of first- and second-order derivatives is also used. After that, we solve stochastic partial differential equations and the Heston equation. The method of solving these types of equations is a combination of mesh-free methods and the compact finite difference method. Also, we combine the radial basis functions method and the least-squares method to eliminate the defects of these two methods. At the end of each chapter, we compare the numerical results and accuracy of each method with the table and figure with other methods. Observing the numerical results, we realize that the proposed methods in this study work better and more accurately than other common methods. Note that the following two papers are the results of this thesis work: 1. Akbari R., Mokhtari R. and Jahandideh M. T., A combined compact difference scheme for option pricing in the exponential jump-diffusion models, Advances in Difference Equations, 495 (2019) 1-13. 2. Akbari R., Mokhtari R. and Jahandideh M. T., New RBF-CFD scheme for Solving Black-Scholes equation and European option pricing, Mathematical Researches (Sci. Kharazmi University), submitted.

محمد تقي جهانديده، رضا مختاري

مهدي تاتاري

بيژن ظهوري زنگنه، سعيد وحدتي، صفيه محمودي