توصيفگر ها :
گروه‌هاي متناهي , گروه غيردوري , مرتبه عناصر گروه , مجموع مرتبه‌ي عناصر , گروه حل‌پذير
چكيده فارسي :
فرض كنيد
ψ با مطالعه روي شاخص .ψ(G) =
P
x∈G o(x) نشان مي دهيم، يعني ψ(G) را با G مجموع مرتبه هاي اعضاي
اختيار n را در ميان گروه ها با مرتبه ψ بيشترين مقدار Cn را بررسي كنيم. گروه دوري G مي توانيم برخي خواص گروه
در گروه هاي غيرپوچتوان اتفاق مي افتد. ψ مي كند. علاوه بر اين كمترين مقدار شاخص
را بيان Cn و گروه دوري G ويژگي هايي از گروه متناهي براي گروه غيردوري ψ در اين پايان نامه با استفاده از شاخص
يك گروه G و هرگاه ψ(G) 7
11
ψ(Cn) را بيان و اثبات مي كنيم. نشان مي دهيم ψ مي كنيم. كران هاي بالاي شاخص
علاوه بر اين .ψ(G) <
1
q 1
ψ(Cn) باشد، آن گاه n كوچك ترين شمارنده ي اول از q و n متناهي غيردوري از مرتبه
باشند، به طوري كه اين n از مرتبه G به ترتيب بزرگ ترين و كوچك ترين شمارنده هاي گروه q و p نشان مي دهيم كه اگر
زيرگروه سيلو است −p حل پذير است و داراي يك G صدق كند، آن گاه ψ(G) 1
2(q 1)
ψ(Cn) گروه در نامساوي
دوري و نرمال است و يا هر G از P زيرگروه سيلوي −p است. علاوه بر اين يا p كه شامل يك زيرگروه دوري با شاخص
G دوري و G زيرگروه سيلو از −p و يا G′′ Z(G) پوچتوان است و −q گروهي G دوري و G زيرگروه سيلو از −q
با استفاده از اين قضيه و نتايج حاصل از آن، شرايط كافي بر اساس كران .G′′ Z(G) پوچتوان است و −p گروهي
ψ(G) 3
5
ψ(Cn) در G را به دست مي آوريم. در واقع نشان داده ايم كه اگر G براي حل پذيري گروه ψ(G) شاخص
نيست. علاوه بر اين G اين شرايط، شرايط لازم براي حل پذيري گروه .G′′ Z(G) حل پذير است و G صدق كند، آن گاه
باشند، كه در n به ترتيب كوچ ك ترين و بزرگ ترين شمارنده اول از q و p ،n يك گروه از مرتبه G فرض كنيد
ψ(G) 1
q
ψ(Cn),
زيرگروه سيلوي دوري نرمال دارد يا يك گروه حل پذير با زيرگروه ماكسيمال −p يك ،G صدق مي كند. در اين صورت
است. p + يا 1 p دوري با شاخص
چكيده انگليسي :
Let G be a finite group. We denote the sum of the order of the members G by ψ(G), that is ψ(G) =
P
x∈G o(x),
where o(x) is the order of the element x 2 G. It is well known that the maximum value of ψ(G) on the set of
groups of order n will occur at the cyclic group Cn, namely, a cyclic group of order n can be characterized by the
order n and the value of ψ.
In this dissertation, we study some properties of finite noncyclic
groups in terms of the function ψ(G). Also we
investigate the upper bounds of ψ(G). One of the key result about ψ(G) states that if P is a cyclic normal Sylow
psubgroup
of a finite groupG, then ψ(G) ψ(P)ψ(G/P), with equality if and only if P is central inG. Another
useful result states that if p and q are the largest and the smallest divisors of an integer n, respectively, then the Euler’s
function φ(n) satisfies the inequality φ(n) q−1
p n.
Suppose that G is a noncyclic
finite group of order n. We show that ψ(G) 7
11ψ(Cn). This upper bound is best
possible, since for each n = 4k, k odd, we have ψ(Cn) = 11ψ(Ck) and ψ(C2k C2) = 7ψ(Ck). Hence
ψ(C2k C2) = 7
11ψ(Cn). So the group G = C2k C2, has the maximal sum of element orders among noncyclic
groups of order n, that satisfies ψ(G) = 7
11ψ(Cn). Next, we prove that ψ(G) < 1
q−1ψ(Cn), where q is
the smallest prime divisor of n. As a result, ψ(G) < 1
2ψ(Cn), if G be a noncyclic
finite group of odd order n. In
addition, we show that if p and q be the largest and the smallest prime divisors group G of order n respectively, and
G satisfies ψ(G) 1
2(q−1)ψ(Cn), then G is solvable and the Sylow psubgroups
of G contain a cyclic subgroup
of index p. Moreover, one of the following statements holds:
(i) G has normal cyclic Sylow psubgroup
and the Sylow psubgroup
P of G is cyclic normal;
(ii) The Sylow qsubgroup
of G are cyclic, G is qnilpotent
and G′′ Z(G);
(iii) The Sylow psubgroup
of G are cyclic, G is pnilpotent
and G′′ Z(G).
By using above results, we show that if ψ(G) 3
5ψ(Cn), then G is solvable and G′′ Z(G). These conditions
are not necessary for the solvability of the group G. For example, for n = 8 we have ψ(C2 C2 C2) = 15 <
3
5nφ(n) = 3
5
8 4. On the other hand, for n = 60, the nonsolvable
group A5 satisfies ψ(A5) = 211 >
3
5nφ(n) = 192. Moreover, suppose G is a group of order n, p and q be the smallest and the largest prime divisors
of n, respectively. Suppose thatGsatisfies ψ(G) 1
qψ(Cn). Then eitherGhas a normal cyclic Sylow psubgroup
or it is a solvable group with a cyclic maximal subgroup of index either p or p + 1.
