16834

1830 دكتري

دكتري

رياضي محض (جبر)

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1400

چهارده، 85ص: مصور، نمودار

محمود بهبودي

محمدرضا ودادي

اميد علي شهني كرم زاده، احمد موسوي، احسان ممتحن

1400/09/10

كتابنامه

رياضي

رياضي

1400/09/14

2734410

چكيده: در اين رساله به معرفي و مطالعه‌ي حلقه و مدول‌هايي مي‌پردازيم كه هر زيرمدول اوّل آن‌ها، يك‌ريخت با جمع‌وندي از آن مدول باشد. چنين مدول‌هايي را اوّل-نيم‌ساده‌ي مجازي مي‌ناميم. اين رساله در ادامه‌ي تلاش‌هاي اخير بهبودي و همكارانش براي ارائه‌ي تعميم مناسب از حلقه‌ها و مدول‌هاي نيم‌ساده است. در حقيقت در مقالات اخير ايشان تعميم مناسب از مدول‌هاي نيم‌ساده، تحت عنوان «حلقه و مدول‌هاي نيم‌ساده‌ي مجازي» ارائه شده است. يك مدول را نيم‌ساده‌ي مجازي گوييم هرگاه هر زيرمدول آن يك‌ريخت با جمع‌وندي از آن باشد. هدف اصلي اين رساله معرفي و مطالعه‌ي تعميمي از حلقه‌ها و مدول‌هاي نيم‌ساده‌ي مجازي به كمك زيرمدول اوّل است. طبق قضيه آرتين-ودربرن «حلقه‌ي R نيم‌ساده است اگر و تنها اگر حلقه‌ي R حاصل‌ضرب تعداد متناهي از حلقه‌هاي ماتريسي روي حلقه‌هاي تقسيمي باشد» و همچنين اين كه «هر ايده‌آل چپ جمع‌وند R است اگر و تنها اگر هر ايده‌آل چپ اوّل R جمع‌وندي از آن باشد». با توجه به اين نتايج و همچنين نتايجي از حلقه و مدول‌هاي نيم‌ساده‌ي مجازي، سؤالات طبيعي زير انگيزه مطرح شدن مدول‌هاي اوّل-نيم‌ساده‌ي مجازي است. (1) اگر هر زيرمدول اوّل يك مدول يك‌ريخت با جمع‌وندي از آن مدول باشد آيا مي‌توان نتيجه گرفت هر زيرمدول آن مدول نيز يك‌ريخت با جمع‌وندي از آن است؟ (2)] روي چه حلقه‌هايي، هر مدول (متناهي توليد شده), اوّل-نيم‌ساده‌ي مجازي است؟ (3)] روي چه حلقه‌هايي، كلاس مدول‌هاي نيم‌ساده و كلاس مدول‌هاي اوّل-نيم‌ساده‌ي مجازي يكي است؟ (4)] روي چه حلقه‌هايي، كلاس مدول‌هاي نيم‌ساده‌ي مجازي و كلاس مدول‌هاي اوّل-نيم‌ساده‌ي مجازي يكي است؟ (5)] روي چه حلقه‌هايي همه‌ي ايدهآل‌هاي سره, اوّل-نيم‌ساده‌ي مجازي مي باشند؟ در حقيقت نشان مي‌دهيم سؤال اوّل در حالت كلي برقرار نيست اما براي حلقه‌ها به طور كامل پاسخ مي‌دهيم. در حالت كلي به سؤال دوّم جواب مي‌دهيم. همچنين به سؤال‌هاي سوم و چهارم در حالتي كه R يك حلقه‌ي تعويض‌پذير و نوتري باشد پاسخ مي‌دهيم و به سوال پنجم براي حلقه‌هاي تعويض‌پذير به طور كامل پاسخ مي‌دهيم.

An R-module M is called virtually semi simple if each sub module of M is isomorphic to a direct summand. A ring R is called left (right virtually semi simple if _RR (resp., R_R) is virtually semi simple. In this thesis, we study rings and modules in which every prime sub module is isomorphic to a direct summand, and called them prime virtually semi simple modules. A ring R is called left (resp., right)-virtually semi simple} if RR (resp., R_R) is virtually semi simple. The results of the thesis are inspired by a characterization of left -virtually semi simple rings. We prove that these rings are precisely the left virtually semi simple rings, and in this case n and each is a principal left ideal ring. We also answer to the following questions: Describe rings R where each (finitely generated or cyclic) left R-module is -virtually semi simple?,and (ii) Describe rings R where each left R-module is a direct sum of indecomposable-virtually semi simple modules? Finally, we study-virtually semi simple modules over commutative rings. We study commutative rings R whose proper (prime) ideals are direct sums of virtually simple R-modules. It is shown that, every prime ideal of R is a direct sum of virtually simple R-modules, if and only if either R is a finite direct product of principal ideal domains or a local ring with maximal ideal M such that where is an index set and is the set of all non-maximal prime ideals of R and for each the ring is a principal. We also characterize commutative rings R whose proper ideals are -virtually semi simple. It is shown that, every proper ideal of R is-virtually semi simple if and only if every proper ideal of R is a direct sum of virtually simple R-modules, if and only if either R is a finite direct product of principal ideal domains, a local ring with maximal ideal , or a local ring with maximal ideal , where P is the only non-maximal prime ideal of R and P is a principal ideal domain.

محمود بهبودي

محمدرضا ودادي

اميد علي شهني كرم زاده، احمد موسوي، احسان ممتحن