توصيفگر ها :
مسئله باغ , قانون گروه , خم‌هاي بيضوي , ميدان‌هاي متناهي , كاربردهاي ميدان‌هاي متناهي , خم آكنودال , آرايش نقطه-خط
چكيده فارسي :
مسئله باغ به صورت چگونگي كاشت تعدادي درخت در يك باغ با حداكثر تعداد رديف هاي
ممكن به طوري كه در هر رديف دقيقاً 3 درخت وجود داشته باشد، مطرح شده است. اين مسئله در قالب نقطه و
نقطه n آرايش يكمجموعه از (n; t) خط قابل بيان است و با نام مسئله كلاسيكباغ معرفي شده است. يك
خط 3-نقطه، خطوطي كه شامل دقيقاً 3 نقطه از مجموعه نقاط هستند، در صفحه ي تصويري حقيقي تعريف t و
مي شود. مسئله كلاسيك باغ مسئله ي يافتن يك آرايش در صفحه ي تصويري حقيقي با بيشترين تعداد خطوط
بيشترين تعداد t نقطه، n آرايش، بهينه است هرگاه براي (n; t) است. يك n 3-نقطه براي هر مقدار داده شده
نمايش داده مي شود. Or(n) = t خطوط 3-نقطه باشد؛ جواب مسئله باغ با نماد
نقطه به طوري كه هر خط گذرنده از هر دو نقطه آن از نقطه سوم اين مجموعه عبور n مجموعه اي شامل
مي كند را در نظر مي گيريم. آيا همه نقاط اين مجموعه روي يك خط قرار دارند؟ اين سوال توسط سيلوستر در
سال 1893 مطرح شد. پس از سيلوستر، اردوش و گالايي مسئله وجود خط معمولي، خطي كه شامل دقيقاً دو
نقطه از مجموعه نقاط است را مطرح كردند. پساز اثبات وجود خطوط معمولي، سوال بعدي در مورد تعداد اين
خطوط براساس تعداد اعضاي مجموعه نقاط مطرح شد. ابتدا ملكير در سال 1944 ثابت كرد كه حداقل 3 خط
معمولي وجود دارد. سپس كران هاي پايين براي تعداد خطوط معمولي توسط كيلي، موزر، هنسن، سيما، ساوير،
n ديراك و موتزكين مطرح شد. ديراك و موتزكين حدس خود را بدين گونه مطرح كردند. يك مجموعه شامل
خط معمولي است. گرين و n
نقطه به طوري كه همه نقاط اين مجموعه روي يك خط قرار ندارند، شامل حداقل 2
تائو در سال 2013 حدس ديراك و موتزكين را براي خطوط معمولي ثابت كردند. از اين كران براي كران بالاي
تعداد خطوط 3-نقطه، استفاده كردند.
1 يك كران پايين براي مسئله باغ ارائه كرد. توسط سيلوستر نشان داده شد سيلوستر در سال 868
توسط بئ ر ، Or(n) ⌋n(n 3)
6
⌋ + . در سال 1973 نامساوي 1 Or(n) ⌋(n 1)(n 2)
6
⌋
گرونباو م و اسلون نشان داده شد. نقطه عطف تاريخي اين مسئله زماني اتفاق افتاد كه مورد توجه گرين و تائو
قرار گرفت؛ اين دو رياضيدان يك كران بالا براي مسئله باغ ارائه دادند. آن ها براي مجموعه نقاط مفروض
خط 3-نقطه وجود دارد.
⌊
n(n3)
6
⌋
+ نشان دادند كه حداكثر 1
در سال 2020 ميلادي دو رياضيدان با نام هاي پادمنابهان و شوكلا اين مسئله را در فضايي جديد، فضاي
تصويري روي ميدان هاي متناهي، بررسي كردند؛ در حالي كه گرين و تائو اين مسئله را در فضاي تصويري روي
اعداد حقيقي مورد بررسي قرار داده بودند. پادمنابهان و شوكلا مجموعه ي نقاط را در صفحه ي تصويري روي
يك ميدان متناهي در نظر گرفتند و كران گرين و تائو را در اين فضا براي اين مسئله مورد بررسي قرار دادند.
آن ها با استفاده از قانون گروه خم هاي بيضوي روي ميدان هاي متناهي نمايش هاي گروهي براي مسئله باغ روي
ميدان هاي متناهي مطابق با كران گرين و تائو و مثال هايي كه در آن كران بالاي حداكثر تعداد خطوط 3-نقطه
با كران معرفي شده توسط گرين و تائو مطابقت ندارند، ارائه كردند.
چكيده انگليسي :
The Orchard problem is presented as how to plant a number of trees in a garden with the maximum possible
number of rows so that there are exactly 3 trees in each row. This problem can be expressed in the form of
points and lines and was introduced as the classic Orchard problem. An (n; t)arrangement of a set of n
points and t 3-rich lines, lines that contain exactly 3 points of the point set, is defined on the real projective
space. The classical Orchard problem is the problem of finding an arrangement on the real projective space
with the largest number of 3-rich lines for any given value of n. An (n; t)arrangement is optimal if, for
n points, t is the maximum number of 3-rich lines; The solution to Orchard problem is represented by the
symbol Or(n) = t.
This question was raised by Sylvester in 1893: we consider a set containing n points such that every line
passing through two points passes through the third point of this set. Are all the points of this set on the
same line? After Sylvester, Erdős and Gallai raised the problem of the existence of an ordinary line, a line
that contains exactly two points of the set of points. After proving the existence of ordinary lines, the next
question was asked about the number of these lines based on the number of points of the set of points. First,
Melchior proved in 1944 that at least there are 3 ordinary lines. Lower bounds for the number of ordinary
lines were then proposed by Kelly, Moser, Hansen, Csima, Sawyer, Dirac and Motzkin. Dirac and Motzkin
presented their conjecture as follows. A set of n points such that not all points of this set lie on the same
line covers at least n=2 ordinary lines. In 2013, Green and Tao proved the Dirac and Motzkin conjecture
for ordinary lines. They used this bound for the upper bound of the number of 3-rich lines.
Sylvester provided a lower bound for the Orchard problem in 1868. It was shown by Sylvester that
Or(n) ⌊(n 1)(n 2)=6⌋. In 1973, the inequality Or(n) ⌊n(n 3)=6⌋ + 1 was shown
by Burr, Grunbaum and Sloane. The historical turning point of this problem happened when it was noticed
by two mathematicians named Green and Tao; These two mathematicians provided an upper bound for the
Orchard problem. They showed that for the given set with n points, there are at most ⌊n(n 3)=6⌋ + 1
3-rich lines.
In 2020, two mathematicians named Padmanabhan and Shukla considered this problem in a new space,
projective space over finite fields; While Green and Tao had considered this problem in the projective
space on real numbers. They considered the set of points in the projective space over a finite field and
considered Green and Tao’s bound in this space for this problem. Using the group law of elliptic curves
on finite fields, they gave group representations for the Orchard problem on finite fields identical with the
Green and Tao bounds and examples where the upper bound on the maximum number of 3-rich lines does
not match the bound introduced by Green and Tao in projective space on real numbers.
