18224

2018 دكتري

دكتري

رياضي كاربردي- آناليز عددي

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1401

هشت، [103]ص.: مصور، جدول، نمودار

1401/11/26

كتابنامه

رياضي

رياضي

1401/11/26

2849962

در اين رساله به بررسي روش هاي كمترين مربعات تغييراتي بر اساس هسته هاي معين مثبت به عنوان پايه هاي تقريب در حل عددي معادلات ديفرانسيل جزئي مي پردازيم. كمترين مربعات ارائه شده در اين رساله، بر خلاف سيستم ريلي-ريتز، نياز به خود-الحاقي با معين مثبت بودن عملگر ديفرانسيلي نيست. همچنين روش ارائه شده در اين پژوهش جهت گسسته سازي و حل عددي معادلات ديفرانسيلي منجر به دستگاه هاي خطي متقارن و معين مثبت مي شود و اين امر موجب عدم نياز به بررسي شرايط سازگاري روشهايي چون گالركين تركيبي مي شود. يكي ديگر از مزاياي روش اين است كه نيازي به انتخاب فضاهاي تقريبي كه در آنها شرايط مرزي صدق كنند يا انتخاب نقاط آزمون مرزي جهت اعمال شرايط مرزي نيست. از طرف ديگر همواري فضاي تقريب را مي توان به راحتي افزايش داد كه البته منوط به كنترل عدد وضعيت ماتريس ضرايب حاصل از گسسته سازي مسئله است. همچنين حل پذيري، تخمين خطا و آناليز همگرايي روش مورد بررسي قرار گرفته است. به طور كلي در اين پژوهشنشان داده شده است كه روش كمتيرين مربعات تغييراتي بر پايه هسته هاي است. همچنين براي مسائلي با بعد مكاني حداكثر سه، با در نظر گرفتن شرايطي L2(Ω) معين مثبت داراي مرتبه همگرايي بهينه در روي همواري فضاهاي تقريب، مرتبه همگرايي بهينه در فضاهاي سوبولف مرتبه ي بالاتر نيز به دست آورده شده است. عدد وضعيت ماتريس عملياتي نهايي نيز با در نظر گرفتن همواري توابع پايه، تقريب زده شده و كراني براي آن به دست آورده شده است. در انتها با مقايسه نتايج عددي حاصل از گسسته سازي يك معادله ديفرانسيل جزئي مرتبه دوم، نتايج و قضاياي اثبات شده در رساله مورد راست آزمايي و تاييد قرار گرفته است.

We consider the least-squares variational kernel-based methods for the numerical solution of partial differential equations. Indeed, we focus on least-squares principles to develop meshfree methods to find the numerical solution of a general second order elliptic boundary value problem. Most notably, in these principles it is not assumed that the differential operator to be self-adjoint or positive definite as it should be in the Rayleigh-Ritz setting. However, the new scheme leads to a symmetric and positive definite algebraic system allowing us to circumvent the compatibility conditions arising in standard and mixed-Galerkin methods. In particular, the resulting method does not rely on certain subspaces satisfying the boundary conditions. The smoothness of the approximate function can be increased without additional task as far as the conditioning of the final linear system allows. The solvability of the scheme is proved and the error estimates are derived for functions in appropriate Sobolev spaces. For the weighted discrete least-squares principles, we show that the optimal rate of convergence in L2(Ω) is accessible. Furthermore, the proposed method has optimal rate of convergence in Hk(Ω). The condition number of the final linear system is approximated in terms of discretization quality. Finally, the results of some computational experiments support the theoretical error bounds.

مهدي تاتاري ورنوسفادراني

داوود ميرزايي

مجيد سلامت , مهرداد لكستاني , مصطفي شمسي