توصيفگر ها :
تعريف‌پذيري حلقه‌ي ارزياب , ميدان ارزيابي هنسلي , Vــ توپولوژي , t ــ هنسلي , حلقه‌هاي سري‌هاي تواني , ميدان سري‌هاي لوران
چكيده فارسي :
هدف اصلي اين پايان‌نامه اثبات قضيه‌ي زير از يك مقاله متعلق به اَنسكام و كونيگزمن است: "حلقه‌ي ارزيابِ
[F_q[t] در ميدان ارزيابي F_q((t)) با يك فرمول وجودي و بدون پارامتر در زبان حلقه‌ها تعريف‌پذير است.`` اثبات قضيه‌ي يادشده به نحو سنگيني متكي بر قضيه‌اي از زيگلر و پرستل است كه بيان مي‌كند در ميدان‌هاي توپولوژيك هنسلي كه بسته‌ي جدايي‌پذير نيستند يك همسايگي كراندار و تعريف‌پذير از صفر وجود دارد. نشان خواهيم داد كه ميدانِ F_q((t))در شروط اين قضيه صدق مي‌كند و از اين رو در آن يك همسايگي كراندار از صفر وجود دارد كه با يك فرمول وجودي و با پارامتر از F_qتعريف مي‌شود. در قدم بعدي اين همسايگي را با ترفندي جالب به يك مجموعه‌ي تعريف‌پذيرِ Yتبديل مي‌كنيم كه شامل t F_q[t] و مشمول در [F_q[t] است. سپس با توجه به تساويِF_q[t]=F_q+Y نتيجه مي‌گيريم كه [F_q[t] با يك فرمول وجودي ولي با پارامتر از F_q تعريف‌پذير است. در نهايت به حذف اين پارامترها مي‌پردازيم.
چكيده انگليسي :
This thesis is based on the following two papers:
Will Anscombe and Jochen Koenigsmann. An existential-emptyset-definition of F_q[t] in F_q((t)), The Journal of Symbolic Logic, 79(4):1336–1343, 2014.
Alexander Prestel and Martin Ziegler, Model-theoretic methods in the theory of topological
fields. Journal f"{u}r die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 299 (1978), no. 300, pp. 318–341.
We aim to show that the valuation ring F_q[t] in the valued field F_q((t)) is existentially definable in the language of rings without any parameters.
The proof of the mentioned theorem is in the first reference above, but it relies heavily on a theorem in
the second reference above, which asserts that in a topological Henselian field which is not separably closed, there exists a bounded neighborhood of zero that is definable by an existential formula.
We will demonstrate that the field F_q((t))meets the requirements of the latter theorem and hence has a bounded neighborhood of zero definable by an existential formula with parameters from F_q.
Next, we use a trick to transform this neighborhood into a definable set Y that contains tF_q[t] and is contained in the valuation ring F_q[t]. Now it is easy to verify that F_q[t] is equal to F_q+Y. Then, due to the definability of the set Y and the definability of F_q as the set of roots of the polynomial x^{q}-x we conclude that F_q[t] is definable in the language of rings, but at this stage, with parameters from F_q In the final step of the proof, we find a way to get rid of the parameters of the mentioned definition.
