18801

2107 دكتري

دكتري

كد گذاري و رمزنگاري

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1402

9، 156ص. : جدول، نمودار

1402/07/04

كتابنامه

رياضي كاربردي

رياضي

1402/07/08

2965770

حساب كارآمد روي خم‌هاي بيضوي به مفهوم ارائه الگوريتم هاي بهينه جهت محاسبه روي خم‌هاي بيضوي است. در سال‌هاي اخير، به پياده‌سازي الگوريتم‌هاي كارآمد براي محاسبات روي خم‌هاي بيضوي در ميدان‌هاي متناهي توجه زيادي شده‌است. محاسبه‌ي ضرب اسكالر مهمترين قسمت در رمزنگاري خم‌ بيضوي است كه به صورت دنباله‌اي بازگشتي از جمع و دو‌برابر‌سازي نقاط انجام شود. در بحث پياده‌سازي، سرعت و كارايي يك الگوريتم براي محاسبه‌ي ضرب اسكالر از اهميت ويژه‌اي برخوردار است. علاوه بر اين، يك الگوريتم بايد به گونه‌اي باشد كه در برابر حملات كانال جانبي فعال و غير‌فعال مقاوم باشد. براي نوع خاصي از خم‌هاي بيضوي در ميدان‌هاي متناهي با مشخصه‌ي بزرگ، روشي براي محاسبه‌ي ضرب اسكالر ارائه شده‌است كه به روش مونتگومري معروف است. روش مونتگومري براي ضرب اسكالر، به روش نردبان مونتگومري معروف شده‌است. در روش نردبان مونتگومري، براي هر بيت از اسكالر، به صورت همزمان عمل دوبرابر‌كردن و جمع نقاط انجام مي شود، بنابراين از حمله‌ي تحليل توان ساده جلوگيري مي كند. روش مونتگومري براي ساير خم‌‌هاي بيضوي بر روي ميدان‌هاي دودويي و غير‌دودويي نيز به‌كار‌گرفته مي‌شود. در اين رساله، با در‌نظر گرفتن خم‌هاي بيضوي متفاوتي بر روي ميدان‌هاي متناهي، فرمول‌هاي جديد و بهينه‌اي براي جمع تفاضلي (يعني جمع دو نقطه كه تفاضل آنها معلوم است) ارائه مي‌كنيم. اين رساله فرمول‌هاي تفاضلي شبه-مونتگومري را براي خم‌هاي بيضوي بر روي ميدان‌هاي متناهي و همچنين فرمول‌هاي تفاضلي شبه- لوپز و دهاب را براي خم‌هاي بيضويي دودويي ارائه مي‌دهد.

Efficient arithmetic on elliptic curves means providing optimal algorithms for calculation on elliptic curves. In recent years, much attention has been paid to the implementation of efficient algorithms for calculations on elliptic curves over finite fields. The scalar multiplication is the most important operation of elliptic curve cryptography, that can be performed by a sequence of point additions and point doublings. Speed and efficiency are the main factors to be considered in the correct implementing of scalar multiplication. Moreover, the implementations should be performed in a way to be resistant against passive and active side channel attacks. The Montgomery method is introduced for scalar multiplication of points for a special type of curve in large characteristic. This method has been extended to other form of elliptic curves and to binary elliptic curves. The Montgomery scalar multiplication is known also as Montgomery ladder. In the Montgomery ladder, for each bit of the scalar both doubling and addition are performed, so this prevents the computation secure against simple power analysis. Also this method is not subject to fault attacks. The Montgomery method is applied to other forms of elliptic curves. In this thesis, we present new and fast differential addition (i.e., the addition of two points with the known difference) and doubling formulas, as the core step in Montgomery scalar multiplication, for various forms of elliptic curves over finite fields. This thesis presents Montgomery-like formulas for different form of elliptic curves over finite fields in odd characteristic. We also present Lopez and Dahab-like differential addition and doubling formulas for binary elliptic curves.

رضا رضائيان فراشاهي

عمران احمدي درويش‌وند

محسن خاني , شهرام خزايي , علي رجايي