18802

16312

كارشناسي ارشد

جبر

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1402

يازده،‌ 79ص. :مصور، جدول، نمودار

1402/07/07

كتابنامه

رياضي محض

رياضي

1402/07/08

2965916

براي گروه متناهي Gتابع هاي ) (Gو ) ′′(Gبه صورت هاي زير تعريف مي شوند (G) = ∑ g2G o(g) و ′′(G) = (G) jGj2 : كه در آن ) o(gو jGjبه ترتيب مرتبه عضو g 2 Gو مرتبه Gاست. در اين پايان نامه نشان مي دهيم كه اگر Gغير دوري باشد و ) ′′(Gبه ترتيب برابر 27=64 ، 7=16و 13=36باشد،آن گاه Gبه ترتيب با Q8 ،C2 × C2و S3يكريخت است. هم چنين اگر Gابر حل پذير نباشد و ، ′′(G) = 31=144آن گاه Gبا A4يكريخت است. هم چنين اگر G غير حل پذير و ، ′′(G) = 211=3600آن گاه Gبا A5يكريخت است. علاوه بر اين نشان مي دهيم اگر Gيك گروه غير پوچتوان باشد و ) ′′(G) = ′′(D2pباشد، )به ازاي عدد اول (p > 5گروه Gبا D2pيكريخت است. هم چنين ثابت مي كنيم كه اگر ′′(G) > ′′(D2p) ) pيك عدد اول شمارنده jGjاست( باشد، آن گاه Gابر حلپذير است و ) .G′′ < Z(Gهم چنين براي هر عدد اول ،r > 3 Gداراي -rزير گروه سيلوي نرمال دوري است. علاوه بر اين اگر ،p = 3آن گاه Gداراي -qزير گروه سيلوي نرمال دوري است كه در آن .q ≥ 3هم چنين ثابت مي كنيم اگر ،jGj 2 f2p; 3p; 6pgآن گاه G ∼ = O p(G) × Op′(G): سپس نشان مي دهيم كه اگر ′′(G) > ′′(D2p) = p2 + p + 1 4p2 كه در آن pيك عدد اول است، آن گاه Gداراي يك -pزير گروه سيلوي دوري مركزي است كه نتيجه مي دهد G = O p(G) × Op′(G) كه در آن ) Op(Gدوري است. علاوه بر اين Gابرحل پذير است و ).G

This M.Sc. thesis is based on the following papers • Morteza Baniasad Azad, Behrooz Khosravi, Morteza Jafarpour, an answer to a conjecture on the sum of element orders, Journal of Algebra and Its Applications, 21 (4) (2022) 2250067. • Morteza Baniasad Azad, Behrooz Khosravi, A criterion for p-nilpotency and p-closedness by the sum of element orders , Communications in Algebra, 48 (12) (2020) 5391–5395. Let G be a finite group and (G) = ∑g2G o(g), where o(g) denotes the order of g. One of the key result about (G) states that if P is a cyclic normal Sylow p-subgroup of a finite group G, then (G) < (P ) (G=P ) and if G is non-cyclic group of order n, then (G) < (Cn). We show that if G is non-cyclic and ′′(G) = 7=16 or ′′(G) = 27=64 or (G) = 13=36, then G ∼ = C2 × C2 or G ∼ = Q8 or G ∼ = S3, respectively. Also if G is nonsupersolvable and ′′(G) = 31=144, then G ∼ = A4. Moreover if G is non-solvable and ′′(G) = 211=3600, then G ∼ = A5. Also if G is non-cyclic of order n, then (G) ≤ 11 7 (Cn). more over if G is non-cyclic of odd order n, then (G) < 12 (Cn). The function ′′(G) = jG(Gj2) was introduced by Tǎrnǎuceanu. Some lower bounds for ′′(G) are determined such that if ′′(G) is greater than each of them, then G is cyclic, abelian, nilpotent, supersolvable and solvable. Also, an open problem arosed about finite groups G such that ′′(G) is equal to the amount of each lower bound. we give an answer to the equality condition which is a partial answer to the open problem posed by Tǎrnǎuceanu. Also, it is shown that: If ′′(G) > ′′(D2p), where p is a prime number, then G ∼ = O p(G) × Op′(G) and O p(G) is cyclic. As the next result, we show that if G is not a p-nilpotent group and ′′(G) = (D2p), then G ∼ = D2p.

بيژن طائري

محمد رضا ودادي , جواد باقريان