19072

2136 دكتري

دكتري

منطق رياضي

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1402

يازده، 84ص.:مصور

واژه‌نامه

1402/09/12

كتابنامه

رياضي

رياضي

1402/09/18

2969359

در اين رساله، از ديدگاه نظريه اثبات به بررسي سه منطق به نام‌هاي منطق وجهي S5 ، منطق چند‌‌ارزشي وجهي آبليِ خطي و منطق توجيه احتمال مي‌پردازيم. يك حساب ابر‌ــ‌رشته به نام ابر‌ـ‌ـ‌رشته‌ي ريشه‌دار براي منطق وجهي S5 ارائه مي‌نمائيم كه از ديدگاه نظريه اثبات داراي ويژگي‌هاي مطلوبي باشد. ابر‌ــ‌رشته‌ي ريشه‌دار يك ابر‌ــ‌رشته به صورت Gamma Rightarrow Delta || P_1 Rightarrow Q_1 | ldots| P_n Rightarrow Q_n است كهGamma و Delta بيش‌مجموعه‌هايي از فرمول‌هاي دلخواه و P_i و Q_i بيش‌مجموعه‌هايي از فرمول‌هاي اتمي هستند. Gamma Rightarrow Delta را ريشه مي‌ناميم. با توجه به اينكه فقط در قسمت ريشه، فرمول‌ها دلخواه هستند و فرمول‌هاي موجود در بقيه قسمت‌ها اتمي هستند، پس قواعد اصلي فقط روي ريشه اعمال مي‌شود. بنابراين، اين حساب رشته به حساب رشته‌ي معمولي بسيار نزديك است. نشان مي‌دهيم قواعد اصلي در اين حساب معكوس‌پذير هستند و قواعد تضعيف و انقباض و همچنين قاعده‌ي برش پذيرفتني هستند. در نهايت، قضيه تماميت را ثابت مي‌كنيم. در سال 1989 منطق آبلي به عنوان منطقِ گروه‌هاي آبليِ مشبكه‌‌ــ‌مرتب توسط پژوهشگران اصل‌بندي شد. در سال 2018 جورج متكالف و همكارانش منطق چند‌ارزشي وجهي آبلي K(A) را به عنوان كوچكترين توسيع وجهي منطق آبلي را ارائه دادند، يك حساب رشته براي بخش ضربي منطق وجهي آبلي معرفي كردند و ارائه‌ي يك حساب رشته براي منطق وجهي آبلي را به عنوان يك مسئله باز مطرح نمودند. در اين رساله، يك منطق چند‌ارزشي وجهي آبليِ خطي LK(A) را به عنوان توسيع از منطق rm K(A) ارائه مي‌كنيم. در واقع، منطق LK(A) توسيعي از K(A) با شماي اصول Box(varphi vee psi) rightarrow( Box varphi vee Box psi) و (Box varphi wedge Box psi) rightarrow Box( varphi wedge psi) است. قضيه تماميت را نسبت به ساختارهاي جبري ثابت مي‌كنيم. همچنين يك حساب ابر‌ــ‌رشته براي LK(A) كه قاعده‌ي برش در آن پذيرفتني است معرفي مي‌نمائيم. نشان مي‌دهيم كه قاعده‌ي برش در اين حساب ابر‌ــ‌رشته پذيرفتني است. در پايان، نشان مي‌دهيم كه اصول موضوعه و حساب رشته‌ي ارائه شده با هم در تناظر هستند. در نهايت، در فصل آخر اين رساله، يك منطق‌ توجيه احتمال را به نحوي مطلوب اصل‌بندي مي‌كنيم كه تأييدهاي بيزي در آن پديدار شوند. از اين‌رو، منطق توجيه بيزي كه آن را با BJ نشان مي‌دهيم، معرفي مي‌نماييم. نظريه‌ي بيز در علم احتمال به اين مفهوم مي‌پردازد كه اگر احتمال پيشامد H به شرط پيشامد E بزرگتر از احتمال پيشامد H باشد، آن‌گاه گفته مي‌شود كه E فرض H را تأييد مي‌كند. به بياني ديگر، اگر P(H | E)> P(H) آن‌گاه E فرض H را تأييد مي‌نمايد. در منطق توجيه بيزي از فرمول‌هايي به صورت CP_{geq s}(A, B) كه بيان‌گرِ اين است كه احتمال شرطي P(A|B) حداقل s است و همچنين فرمول‌هايي به صورت { D}_{geq r}(A, B) كه بيان‌گرِ اين است كه درجه‌ي بيزي حداقل r است، به بيان ديگر يعني {P}(A|B)-{ P}(A) geq r ، بهره برده‌ايم. در منطق BJ اصلي به صورت j_B:A leftrightarrow { D}_{>0}(A,B) داريم. اين اصل بيان‌گر اين است كه ترم‌هايي به‌صورت j_B ،تأييدهاي بيزي را نمايش مي‌دهند.

We consider Modal logic S5, Abelian modal logic and Probabilistic justification logic from the proof theoretical point of view. First, we present a rooted hypersequent calculus for modal propositional logic S5. We show that all rules of this calculus are invertible and the rules of weakening, contraction, and cut are admissible, soundness and completeness are established as well. Then, a many-valued modal logic, called linear abelian modal logic LK(A) is introduced as an extension of the abelian modal logic K(A). Abelian modal logic K(A) is the minimal modal extension of the logic of lattice-ordered abelian groups. The logic LK(A) is axiomatized by extending K(A) with the modal axiom schemas Box(varphi vee psi) rightarrow( Box varphi vee Box psi) and (Box varphi wedge Box psi) rightarrow Box( varphi wedge psi). Completeness theorem with respect to algebraic semantics and a hypersequent calculus admitting cut-elimination are established. Moreover, the correspondence between hypersequent calculi and axiomatization is investigated. Finally, We introduce a family of probabilistic justification logics that feature Bayesian confirmations. Our logics include new justification terms representing evidence that make a proposition firm in the sense of making it more probable. We present syntax and semantics of our logic and establish soundness and strong completeness. In addition, we show how to formalize in our logic the screening-off condition for transitivity of Bayesian confirmations.

مجتبي آقائي فروشاني

محسن خاني , مسعود پورمهديان , مقداد قاري