چكيده فارسي :
بهطور كامل واضح است كه دستگاههاي درجه دوم انتگرالپذير با حداقل يك مركز را ميتوان به چهار خانواده طبقهبندي كرد:
هميلتوني
$Q^{H}_{3}$،
برگشتپذير
$Q^{R}_{3}$،
لوتكا-ولترا تعميميافته
$Q^{LV}_{3}$،
و همبعد چهار
$Q_{4}$.
يك دستگاه درجه دوم
$X$
دستگاه لوتكا-ولترا برگشتپذير است اگر
$X in Q^{R}_{3} cap Q^{LV}_{3}$.
اين دستگاهها بهدليل ويژگيهاي رياضي جالب و رفتار پيچيدهاي كه از خود نشان ميدهند، موضوع تحقيقات قابل توجهي بودهاند.
درك رفتار تابع دوره تناوب در يك طوق (يا طوقهاي) حول مركز (يا مراكز) اين دستگاهها يك مسئله جالب است.
محققين از منظرهاي مختلفي به اين مسئله پرداختهاند.
برخي از مطالعات بر رفتار موضعي در نزديكي مركز دستگاه تمركز دارند، در حالي كه برخي ديگر رفتار را در نزديكي مرز بيروني حلقه بررسي ميكنند.
با توجه به رفتار سراسري تابع تناوب، مشخص شده است كه اين تابع براي دستگاههاي موجود در خانوادههاي
$Q^{H}_{3}$،
$Q^{LV}_{3}$
سنتي،
و
$Q_{4}$
يكنوا است.
با اين حال، براي كلاس
$Q^{R}_{3}$،
تابع تناوب بهطور كلي يكنوا نيست و آن را به موضوعي ارزشمند براي بررسي بيشتر تبديل ميكند.
چندين مطالعه موفق در مورد يكنوايي تابع تناوب براي زيرمجموعههاي خاص خانواده لوتكا-ولترا تعميميافته انجام شده است، اما اين نتايج به موارد جزئي در اين خانواده محدود ميشود.
در ميان اين چهار دستهبندي، پيچيدهترين پديدهها در داخل
$Q^{R}_{3}$
رخ ميدهد.
تحقيقات قبلي نشان داده است كه تابع تناوب در دستگاههاي
$Q^{R}_{3}$
ميتوانند حداقل دو دوره بحراني را نشان دهند.
علاوه بر اين، حدسي در مورد نمودار انشعاب اين دستگاهها وجود دارد كه نشان ميدهد تابع تناوب ممكن است بسته به ناحيه پارامتري در فضاي پارامتري داراي
$0$،
$1$
يا
$2$
دوره تناوب ضروري باشد.
در حالي كه برخي از مقالات اين حدس را آزمايش كردهاند، اين يك مسئله باز بوده كه همچنان حل نشده است.
در اين پاياننامه به مطالعه دستگاههاي متعلق به اشتراك
$Q^{R}_{3} cap Q^{LV}_{3}$
پرداخته شده تا يك نتيجه جامع را ارائه دهد.
همچنين ثابت ميشود كه تابع تناوب دستگاههاي درجه دوم لوتكا-ولترا برگشتپذير يكنوا است مگر اينكه مركز مرتبط همزمان باشد.
براي اين خانواده خاص، معيارهاي سنتي براي تعيين يكنوايي بي اثر هستند.
براي پرداختن به اين موضوع، توابع معيار جديدي را در اشكال جديد و قابل اعمال براي مقادير پارامترهاي مختلف در دستگاه، توسعه داده ميشود.
علاوه بر اين، براي غلبه بر چالشهاي ناشي از اصطلاحات نمايي در انتگرال اول، عبارات تحليلي، تفاسير هندسي، و محاسبات نمادين را ادغام ميگردند.
اين روشها نه تنها درك ما را ارتقا ميدهند، بلكه كاربردهاي بالقوهاي را براي ساير مسائل رياضي ارائه خواهند داد.
چكيده انگليسي :
It is well known that integrable quadratic systems with at least one center can be classified into four classes:
the Hamiltonian class
$Q^{H}_{3}$,
the reversible class
$Q^{R}_{3}$,
the generalized Lotka-Volterra class
$Q^{LV}_{3}$,
and the codimension four class
$Q_{4}$.
A quadratic system
$X$
is reversible Lotka-Volterra if
$X in Q^{R}_{3} cap Q^{LV}_{3}$.
These systems have been the subject of significant research due to their intriguing mathematical properties and the complex behavior they exhibit.
One particularly interesting problem involves understanding the behavior of the period function in an annulus (or annuli) surrounding a center (or centers) of these systems.
Researchers have approached this problem from various perspectives.
Some studies focus on the local behavior near the center of the system, while others examine the behavior near the outer boundary of the annulus.
Regarding the global behavior of the period function, it has been established that the function is monotone for systems in the classes
$Q^{H}_{3}$,
classical
$Q^{LV}_{3}$,
and
$Q_{4}$.
However, for the class
$Q^{R}_{3}$,
the period function is generally not monotone, making it a rich subject for further investigation.
Several studies have successfully demonstrated the monotonicity of the period function for specific subsets of the generalized Lotka-Volterra class, but these results are limited to partial cases within this class.
Among the four classes, the most intricate and complex phenomena occur within
$Q^{R}_{3}$.
Previous research has shown that the period function in
$Q^{R}_{3}$
systems can exhibit at least two critical periods.
Additionally, there is a conjecture about the bifurcation diagram of these systems, suggesting that the period function may have 0, 1, or 2 essential periods, depending on the parameter region in the parameter space.
While some papers have tested this conjecture, it remains an open problem that is far from being resolved.
In this thesis, we focus on the study of systems that belong to the intersection
$Q^{R}_{3} cap Q^{LV}_{3}$
and provide a comprehensive result.
We prove that the period function of reversible Lotka-Volterra quadratic systems is monotone unless the associated center is isochronous.
For this specific class, traditional criteria for determining monotonicity are ineffective.
To address this, we develop improved criterion functions in new forms, applicable to various parameter values in the system.
Furthermore, to overcome the challenges posed by exponential terms in the first integral, we integrate analytical expressions, geometric interpretations, and symbolic computations.
These methods not only advance our understanding but also offer potential applications to other mathematical problems.
