منظمي كاستل نوو-مامفرد، معرفي‌شده در [31]، يك ناورداي همولوژيك اساسي در جبر جابجايي و هندسه جبري است. اين ناوردا نقش كليدي در محدودسازي رفتار سيزيجي‌ها، كنترل پيچيدگي محاسباتي پايه‌هاي گربنر و تحليل هندسي چندگوناهاي تصويري دارد. از زمان كارهاي پيشگامانه [3,16]، رويكردهاي متعددي براي مطالعه و محاسبه اين ناوردا توسعه يافته‌اند كه از پايه‌هاي گربنر كلاسيك [6] تا پايه‌هاي تودرتو [35] را شامل مي‌شوند. نظريه ايده‌آل‌هاي اوليه عام، معرفي‌شده در [3,19]، چارچوبي تركيبي و قدرتمند براي تحليل منظمي كاستل نوو-مامفرد و ساير ناورداهاي جبري ايده‌آل‌هاي همگن ارائه مي‌دهد. در اين كار، ما بر دو مفهوم مرتبط كه اخيراً معرفي شده‌اند تمركز مي‌كنيم: ثابت‌هاي محوري [11] و منظمي‌هاي مقطعي [14]. فرض كنيم R = K[x{1},...,x{n}] حلقه چندجمله‌اي‌ها روي ميدان نامتناهي K و I زيرمجموعه R يك ايده‌آل همگن باشد. i-امين منظمي مقطعي ايده‌آل I به صورت reg(Gin(I)+<‎x{1},...,x{n-i}‎>) تعريف مي‌شود، كه در آن Gin(I)، ايده‌آل اوليه عام I نسبت به ترتيب تك‌جمله‌اي الفبايي معكوس مدرج است. به‌ طور مشابه، i-امين ثابت محوري I به صورت min{j in N | x{i}^j in Gin(I)} تعريف مي‌شود. تعاريف دقيق و جنبه‌هاي محاسباتي اين ناورداها در اين پايان‌نامه ارائه شده‌اند. در [14]، روابط بين ثابت‌هاي محوري و منظمي‌هاي مقطعي به‌ طور سازمان‌يافته مورد بررسي قرار گرفته‌اند. سهم اصلي اين كار، تعميم اين نتايج است، به طوري كه نشان مي‌دهد اين روابط همچنان برقرارند، اگر ايده‌آل اوليه عام I با ايده‌آل جمله پيشروي I جايگزين شود، به شرط آنكه I در موقعيت β-بيشينه قرار داشته باشد. اين موقعيت عام، معرفي‌شده در [25]، ابتدا در زمينه محاسبه اعداد پوچ‌ساز عام توسعه يافته بود.

The Castelnuovo-Mumford regularity, introduced in [31], is a fundamental homological invariant in commutative algebra an‎d algebraic geometry. It plays a central role in bounding the behavior of syzygies, controlling the complexity of Groebner basis computations, an‎d understan‎ding the geometry of projective varieties. Since the pioneering works of [16] an‎d [3], numerous approaches have been developed to study an‎d compute this invariant, ranging from classical Groebner bases [6] to involutive bases [35]. The theory of generic initial ideals, introduced in [19,3], provides a powerful combinatorial framework for analyzing Castelnuovo-Mumford regularity an‎d other algebraic invariants of homogeneous ideals. In this work, we focus on two related notions recently introduced in the literature: axial constants [11] an‎d sectional regularities [14]. Let R=K[x{1},...,x{n}] denote a polynomial ring over an infinite field K, an‎d let I subset of R be a homogeneous ideal. The i-th sectional regularity of I is defined by reg(Gin(I)+<‎x{1},...,x{n-i}‎>) where Gin(I) denotes the generic initial ideal of I with respect to the degree reverse lexicographic order. Similarly, the i-th axial constant of I is given by min{j in N | x{i}^j in Gin(I)}. Precise definitions an‎d computational aspects of these invariants are provided in the thesis. In [14], the relationships between axial constants an‎d sectional regularities were systematically studied. Our main contribution is to generalize these results by showing that the same relationships hold if one replaces Gin(I) with the leading term ideal of I, provided that I is in β-maximal position. This notion of genericity, introduced in [25], was originally developed in the context of computing generic annihilator numbers.

امير هاشمي

مرتضي ملك نيا

سجاد لكزيان , مسعود سبزواري