توصيفگر ها :
گروههاي متناهي , خودريختي , مركزساز , مدار
چكيده فارسي :
فرض كنيد ∝ يك خودريختي G است. خودريختي مركزساز ∝ عبارت است از
C_G (∝)={ x ∈G ┤| α(x)=x}
مجموعه خودريختي مركزساز هاي G را با (Acent(G نشان مي دهيم. در اين رساله خودريختي مركزسازهاي برخي گروهها را محاسبه مي كنيم.
نشان مي دهيم كه اگر G يك p گروه آبلي متناهي از رتبه2 باشد، كه در آن p يك عدد اول فرد است، آن گاه خودريختي مركزسازهاي G دقيقا
زيرگروه هاي G هستند. هم چنين در حالت p = 2 خودريختي مركزسازهاي G را محاسبه مي كنيم. علاوه براين خودريختي مركزسازهاي گروه
ناآبلي توليد شده با 2 مولد را بدست مي آوريم.
نشان مي دهيم كه خودريختي مركزسازهاي گروه دووجهي از مرتبه 2n،
D_n
در حالتي كه n فرد باشد، همه زيرگروههاي D_n به جز زيرگروه هماني هستند. هم چنين در حالتي كه n زوج است، زيرگروههايي كه شامل مركز گروه نباشند،
خودريختي مركزساز نيستند. در ادامه خودريختي مركزسازهاي گروه دو دوري مرتبه 4n،
Q_n، گروه متقارن S_n، گروههايي از مرتبه pqr، و P^3 را نيز بدست مي آوريم كه در آن p, q,r اعداد اول فرد متمايز هستند. در انتها تعداد مدارهاي
عمل G از مرتبه P^3 روي مجموعه خودريختي مركزسازهاي G را محاسبه مي كنيم.
رده بندي موضوعي: 45 20K01, 05C25, 05C50, 15A18, 05C
چكيده انگليسي :
Let G be a group. The centralizer of an automorphism α of G is the subgroup of fixed points of α, that is CG(α) = {g ∈ G | α(g) = g}. We show that if G is a finite abelian p-group of rank 2, where p is an odd prime, then the number of Acentralizers of G is exactly the number of subgroups of G. Moreover, we determine the Acentralizers of finite abelian 2-group of rank 2. Also, we find the Acentralizers of infinite two-generator abelian groups.
We find the Acentralizers of Dn = ⟨a, b | an = b2 = 1, bab−1 = a−1⟩, the dihedral group of order 2n. In fact, we show that if n is an odd integer, then every non-identity subgroup of Dn is an Acentralizer of Dn. Also if n is even, all non-identity subgroups are Acentralizers, except the subgroups ⟨ad⟩, ⟨ad, arb⟩, where d is a divisor of n such that d ∤ n/2 and 0 ≤ r < d.
Next, we consider, Qn = ⟨a, b | a2n = 1, an = b2, bab−1 = a−1⟩, where n > 2, the group of order 4n. One of our results is finding out the Acentralizers of Qn.
We show that if G is a non-abelian group of order pq, every non-identity subgroup of G is an Acentralizer. Using the classification of groups of order pqr, where p, q and r are distinct primes, we find the Acentralizers of these groups. Next, we determine the number of Acentralizer of the symmetric group on n letters. We compute the Acentralizer of non-abelian groups of order p3, where p is a prime. In fact, every non-identity subgroup of Zp2 ⋊ Zp is an Acentralizer and every subgroup of (Zp × Zp) ⋊ Zp, is an Acentralizer. Finally, we determine the number of orbits of the action of a group of order p3 on the set of its Acentralizers.
