توصيفگر ها :
ابرگروه , توابع σ-هارمونيك , φ-ميانگين‌پذيري , ضربگر , جبر سگال
چكيده فارسي :
ابرگروه‌ها از يك طرف تعميم گروه‌ها هستند كه فاصله قابل ملاحظه‌اي با آن‌ها دارند، از طرفي ديگر جبرهاي وابسته به ساختار يك ابرگروه در بسياري از حالات ممكن است رفتار متفاوتي نسبت به حالت گروهي از خود نشان دهند. لذا مطالعه‌ي برخي از خواص آناليزي يا هندسي اين جبرها در حالت ابرگروهي، جالب توجه است. در اين رساله با شرايط نه چندان محدودي كه روي ابرگروه K و اندازه بورل منظم و مختلط مقدار σ در نظر مي‌گيريم براي 1≤p≤∞، فضاي توابع σ-هارمونيك در L^p(K) و فضاي اندازه‌هاي σ -هارمونيك را مورد مطالعه قرار مي‌دهيم. به عنوان مثال، نشان مي‌دهيم اگر σ يك اندازه احتمال ناتباهيده روي ابرگروه غير فشرده K باشد، آن‌گاه تنها تابع σ-هارمونيك كه در C_0(K) قرار دارد، تابع ثابت صفر است. تحت همين شرايط و با استفاده از اين مطلب، نشان خواهيم داد كه تنها تابع σ-هارمونيك در L^p (K) همان تابع ثابت صفر است. در قسمتي ديگر از رساله، براي رده‌ي خاصي از جبرهاي باناخ A و مشخصه ناصفر φ روي A، ارتباط بين φ-ميانگين‌پذيري و φ-انقباض‌پذيري را بررسي كرده و اين مفاهيم را به ضربگرهاي فشرده و فشرده‌ي ضعيف روي ايده‌ال‌ها يا جبرهاي سگال مجرد A مرتبط مي‌كنيم. در ادامه با استفاده از اين نتايج روي جبر پيچشي L^1(K) به عنوان حالت خاصي از اين رده از جبرهاي باناخ، نشان مي‌دهيم كه وجود يك نوع خاصي از يك ضربگر فشرده (فشرده‌ي ضعيف) روي ايده‌ال J يا جبر سگال مجرد و متقارن S(K) از L^1(K) با فشردگي K معادل است. به عنوان كاربردي از اين مطلب، نشان مي‌دهيم كه J يا S(K) در دوگان دوم خود ايده‌ال است اگر و تنها اگر K فشرده باشد. در نهايت براي گروه فشرده‌ي موضعي G، ضربگرهاي فشرده و فشرده‌ي ضعيف را روي دوگان دوم جبرهاي سگال مجرد و متقارن جبر گروهي L^1(G) و جبر فوريه A(G) مورد مطالعه قرار مي‌دهيم و وجود چنين ضربگرهايي را با فشردگي، گسستگي يا ميانگين‌پذيري G بررسي مي‌كنيم.
چكيده انگليسي :
On the one side, hypergroups are generalizations of groups that have a considerable distance from them, on the other side algebras depending on the structure of a hypergroup in many cases may show different behavior compared to the group state. Therefore, it can be interesting to study some analytical or geometrical properties of these algebras in the hypergroup state. In this thesis, with the not so limited condition that we consider on the hypergroup K and on the complex valued regular Borel measure σ, we study σ-harmonic functions in L^p(K) for 1≤p≤∞ and σ-harmonic measures spaces. For example, we show that the Liouville property (i.e., the existence of a probability measure σ such that the only harmonic L^∞-functions are constants) and amenability are equivalent for second countable, locally compact hypergroups. We also show that when σ is a non-degenerate probability measure, there is no non-trivial σ -harmonic function which is continuous, vanishing at infinity. Using this result, we prove that the only σ -harmonic function in L^p (K) is the zero constant function.
In another part of the thesis, for a certain category of Banach algebras A and for a non-zero character φ on A , we study the relationship between φ -amenability and φ -contractibility of A and we relate these concepts to the existence of the compact and weakly compact multipliers on some closed ideals or on symmetric abstract Segal algebras of A. Applying these results for the convolution algebra L^1 (K) as a special case of this class of Banach algebras, we show that the existence of a special type of a (weakly) compact multiplier on the closed ideal J or on the symmetric abstract Segal algebra S(K) of L^1 (K) is equivalent to the compactness of K . For example, we show that J or S(K) is an ideal in its second dual if and only if K is compact. Finally, for a locally compact group G, we characterize certain weakly compact multipliers on the second dual of the symmetric abstract Segal algebras of the group algebra L^1 (G) and the Fourier algebra A(G).
