18783

2105 دكتري

دكتري

نظريه حلقه و مدول

اصفهان : دانشگاه صنعتي اصفهان

1402

هشت، 92ص.: فهرست نمادها

1402/06/14

كتابنامه

رياضي

رياضي

1402/07/03

2959264

حلقه R كوته ي چپ ناميده مي شود هرگاه هر R -مدول چپ جمع مستقيمي از مدول هاي دوري باشد و R كاواداي چپ ناميده مي شود هر گاه هر حلقه ي موريتا با R حلقه ي كوته ي چپ باشد. در سال 1935 كوته نشان داد كه روي يك حلقه ي ايده آل اصلي (چپ و راست) آرتيني (چپ و راست)، هر مدول (چپ و راست) حاصل جمع مستقيمي از مدول هاي دوري است. كوهن و كاپلانسكي در سال 1951 ثابت كردند كه حلقه هاي كوته تعويض پذير همان حلقه هاي ايده آل اصلي آرتيني هستند. در سال 1965-1962 كاوادا مسئله كوته را براي جبرهاي متناهي بعد بنيادي، حل كرد. مقالات كاوادا شامل مجموعه اي از 19 شرط كه جبرهاي كاوادا و همچنين ليستي از مدول هاي تجزيه ناپذير ممكن را مشخصه سازي مي كند. اما اين مسئله در حالت تعويض ناپذير هنوز باز بود. در اين رساله، ما مسئله كلاسيك كوته كه بررسي ساختار حلقه هاي تعويض ناپذير با اين خاصيت كه ”هر مدول جمع مستقيمي از مدول هاي دوري باشد، “ را مورد مطالعه قرار مي دهيم. ما كلاس حلقه هاي كوته چپ را به سه دسته تو در تو: حلقه هاي كوته چپ، حلقه هاي كوته قوي چپ و حلقه هاي كوته بسيار قوي چپ تقسيم مي كنيم و مسئله كوته را از ميان چندين مشخصه سازي و خاصيت كه براي اين دسته ها به دست آمده، حل مي كنيم. نتايج بدست آمده از مسئله كوته اين انگيزه را ايجاد نمود كه با استفاده از مفهوم موريتا-دوگان يك حلقه، موريتا-دوگاني مفاهيم فوق را با عناوين: حلقه هاي هم كوته چپ، حلقه هاي هم كوته قوي چپ و حلقه هاي هم كوته بسيار قوي چپ مطرح كنيم و با مشخصه سازي اين حلقه ها، ارتباط بين اين حلقه ها و حلقه هاي شناخته شده اي مانند حلقه هايي كه هر مدول روي آن ها جمع مستقيم مدول هاي يكنواخت يا توسيعي است، يافتيم. اين نتايج در مجموع به حل مسئله كوته و مسئله موريتا-دوگان كوته با استفاده از مشخصه سازي هاي مختلف و توصيف ساختار مدول هاي تجزيه ناپذير روي اين حلقه ها، منجر مي شود.

A ring R is called a left Köthe ring if every left R-module is a direct sum of cyclic R-modules, and a ring R is called a left Kawada ring if any ring Morita equivalent to R is a left Köthe ring. In 1935 Köthe showed that all Artinian principal ideal rings are left Köthe rings. In 1951 Cohen and Kaplansky proved that all commutative Köthe rings are Artinian principal ideal rings. In 1962-1965, Kawada completely solved Köthe's Problem for basic finite dimensional algebras. Kawadas papers contain a set of 19 conditions which characterize Kawada algebras, as well as, the list of all possible finitely generated indecomposable modules. So far, the problem was still open in the non-commutative setting. In this thesis, we study the classical Köthe's problem concerning the structure of non-commutative rings with the property that: "every module is a direct sum of cyclic modules". We break the class of left Köthe rings into three categories of nested: left Köthe rings, strongly left Köthe rings and very strongly left Köthe rings, and then, we solve the Köthe's Problem through the several characterizations and properties that we provide for all of them. The results obtained from Köthe's problem motivated us to use the Morita dual concept of a Köthe ring and introduce the Morita duals of the above notions as left co-Köthe rings, strongly left co-Köthe rings, and very strongly left co-Köthe rings and by chatacterizing these rings we find a connection between them and some well-known rings such as, rings over which every module is a direct sum of extending or uniform modules. These results collectively lead to the solution of Köthe's problem and Morita dual Köthe's problem by giving several characterizations of these rings in terms of describing the indecomposable modules. Finally, we note that references [5] and [6] are the articles that extracted from this thesis.

محمود بهبودي

شادي عسگري

محمدرضا ودادي , اميدعلي كرم زاده , جواد اسداللهي