چكيده فارسي :
براي گروه متناهي Gتابع هاي ) (Gو ) ′′(Gبه صورت هاي زير تعريف مي شوند
(G) = ∑
g2G
o(g)
و
′′(G) = (G)
jGj2 :
كه در آن ) o(gو jGjبه ترتيب مرتبه عضو g 2 Gو مرتبه Gاست. در اين پايان نامه نشان مي دهيم كه اگر Gغير دوري
باشد و ) ′′(Gبه ترتيب برابر 27=64 ، 7=16و 13=36باشد،آن گاه Gبه ترتيب با Q8 ،C2 × C2و S3يكريخت
است. هم چنين اگر Gابر حل پذير نباشد و ، ′′(G) = 31=144آن گاه Gبا A4يكريخت است. هم چنين اگر G
غير حل پذير و ، ′′(G) = 211=3600آن گاه Gبا A5يكريخت است. علاوه بر اين نشان مي دهيم اگر Gيك گروه
غير پوچتوان باشد و ) ′′(G) = ′′(D2pباشد، )به ازاي عدد اول (p > 5گروه Gبا D2pيكريخت است. هم چنين
ثابت مي كنيم كه اگر
′′(G) > ′′(D2p)
) pيك عدد اول شمارنده jGjاست( باشد، آن گاه Gابر حلپذير است و ) .G′′ < Z(Gهم چنين براي هر عدد اول ،r > 3
Gداراي -rزير گروه سيلوي نرمال دوري است. علاوه بر اين اگر ،p = 3آن گاه Gداراي -qزير گروه سيلوي نرمال دوري
است كه در آن .q ≥ 3هم چنين ثابت مي كنيم اگر ،jGj 2 f2p; 3p; 6pgآن گاه
G ∼ = O
p(G) × Op′(G):
سپس نشان مي دهيم كه اگر
′′(G) > ′′(D2p) = p2 + p + 1
4p2
كه در آن pيك عدد اول است، آن گاه Gداراي يك -pزير گروه سيلوي دوري مركزي است كه نتيجه مي دهد
G = O
p(G) × Op′(G)
كه در آن ) Op(Gدوري است. علاوه بر اين Gابرحل پذير است و ).G
چكيده انگليسي :
This M.Sc. thesis is based on the following papers
• Morteza Baniasad Azad, Behrooz Khosravi, Morteza Jafarpour, an answer to a conjecture on the sum of
element orders, Journal of Algebra and Its Applications, 21 (4) (2022) 2250067.
• Morteza Baniasad Azad, Behrooz Khosravi, A criterion for p-nilpotency and p-closedness by the sum of
element orders , Communications in Algebra, 48 (12) (2020) 5391–5395.
Let G be a finite group and (G) = ∑g2G o(g), where o(g) denotes the order of g. One of the key result about
(G) states that if P is a cyclic normal Sylow p-subgroup of a finite group G, then (G) < (P ) (G=P ) and
if G is non-cyclic group of order n, then (G) < (Cn). We show that if G is non-cyclic and ′′(G) = 7=16 or
′′(G) = 27=64 or (G) = 13=36, then G ∼ = C2 × C2 or G ∼ = Q8 or G ∼ = S3, respectively. Also if G is nonsupersolvable and ′′(G) = 31=144, then G ∼ = A4. Moreover if G is non-solvable and ′′(G) = 211=3600,
then G ∼ = A5. Also if G is non-cyclic of order n, then (G) ≤ 11 7 (Cn). more over if G is non-cyclic of odd order
n, then (G) < 12 (Cn). The function ′′(G) = jG(Gj2) was introduced by Tǎrnǎuceanu. Some lower bounds
for ′′(G) are determined such that if ′′(G) is greater than each of them, then G is cyclic, abelian, nilpotent,
supersolvable and solvable. Also, an open problem arosed about finite groups G such that ′′(G) is equal to the
amount of each lower bound. we give an answer to the equality condition which is a partial answer to the open
problem posed by Tǎrnǎuceanu. Also, it is shown that: If ′′(G) > ′′(D2p), where p is a prime number, then
G ∼ = O
p(G) × Op′(G)
and O
p(G) is cyclic. As the next result, we show that if G is not a p-nilpotent group and ′′(G) = (D2p), then
G ∼ = D2p.
