توصيفگر ها :
ماتريس تماما مثبت , ماتريس تماما نامنفي , ماتريس تروپيكال تماما مثبت , ماتريس تروپيكال تماما نامنفي , تابع ارزه , تروپيكال پاينده , ماتريس مونج
چكيده فارسي :
اگر Rمجموعه ي اعداد حقيقي باشد، آن گاه اعداد حقيقي و منفي بي نهايت به همراه دو عمل a ⊕ b := max(a,b) و
a. b := a + bموسوم به جمع ماكسيمم و ضرب ماكسيمم، نيمه ميدان تروپيكال يا جبر ماكسيمم ناميده و با R_max
نمايش داده مي شود. عضو o = −1عضو صفر و 1 = 0عضو هماني R_maxهستند. يك ماتريس كه درايه هاي آن
متعلق به R_maxباشند، ماتريس تروپيكال ناميده مي شود. در اين پايان نامه ماتريس هاي تروپيكال تماما مثبت و تماما
نامنفي را معرفي مي كنيم. همچنين مفاهيم سري پوييسو، تابع ارزه و تروپيكال پاينده يك ماتريس تروپيكال را بيان
مي كنيم. با استفاده از اين مفاهيم و تعريف ترفيع يك ماتريس به دنبال يافتن روابط بين ماتريس هاي تروپيكال تماما
مثبت و تماما نامنفي با ماتريس هاي تماما مثبت و تماما نامنفي هستيم كه درايه هاي آن ها سري هاي پوييسو هستند. با
تعريف ماتريس هاي مونج به دنبال شناسايي تصوير ماتريس هاي تماما مثبت تحت تابع ارزه هستيم. يك موضوع مهم،
معرفي چندجمله اي مشخصه ي تروپيكال و مقادير ويژه ي تروپيكال است كه در اين پايان نامه آن ها را معرفي و بررسي
مي كنيم. نشان مي دهيم ضرايب چندجمله اي مشخصه و مقادير ويژه ي ماتريس هاي تروپيكال تماما مثبت با استفاده از
تابع ارزه از ضرايب چندجمله اي مشخصه و مقادير ويژه ي ماتريس هاي تماما مثبت كه درايه هاي آن سري هاي پوييسو
هستند قابل محاسبه است.
واژگان كليدي: ماتريس تماما مثبت، ماتريس تماما نامنفي، ماتريس تروپيكال تماما مثبت، ماتريس تروپيكال تماما نامنفي، تابع
ارزه، تروپيكال پاينده، ماتريس مونج
چكيده انگليسي :
Supervisor: Dr. Seyed Mahmoud Manjegani, manjgani@iut.ac.ir
Advisor: Dr. Bijan Taeri, b.taeri@iut.ac.ir
2000 MSC: 15A15, 15A09, 15A18, 15A24, 15A29, 15A75, 15A80, 15B99.
Keywords: totally positive matrix, totally nonnegative matrix, tropical totally positive matrix, tropical
totally nonnegative matrix, valuation map, tropical permanent, monge matrix.
Abstract:
We show the set of totally positive matrices as TP and the set of totally nonnegative matrices as TN. If R is the set
of real numbers, then the set of R with negative infinity along with the two operations a⊕b := max(a,b) and a⊙b := a+b,
known as maximum plus addition and maximum plus multiplication, is called the tropical semiring or max-plus
algebra, and is denoted by R_max. The element o = −1 is the zero element, and 1 = 0 is the identity element of
R_max.
A matrix whose entries belong to R_max is called a tropical matrix. In this thesis, we introduce tropical totally
positive matrices and tropical totally nonnegative matrices, and denote the set of tropical totally positive matrices
as TP^trop and the set of tropical totally nonnegative matrices as TN^trop.
We also discuss the concepts of Puiseux series, the valuation of a matrix such as A with entries that are Puiseux
series and denoted as val(A), and the tropical permanent of a matrix like A with entries from R^max, denoted by
per(A).
We aim to find relationships between totally positive and totally nonnegative tropical matrices and matrices whose
entries are Puiseux series by defining the concept of lift of a matrix. By defining Monge matrices, we seek to identify
the image of totally positive matrices under the valuation function.
We will show that the following relationships, which are among our goals in this research, are true:
TP^trop = TP_2^trop⫋ val(TP) = val(TN(K^∗)) = TN^trop(R) ⫋ val(TN) = TN^trop = TN_2^trop
An important topic is the introduction of the tropical characteristic polynomial and tropical eigenvalues. In relation
to the tropical eigenvalues, we present the following important theorems.
– If A is in TN^trop, then the coefficient a_k of the tropical characteristic polynomial of A is the product of the k
largest diagonal entries of A.
– If A is in TN^trop, then the tropical eigenvalues of A (counting multiplicities) are precisely its diagonal entries.
– If A is in TP such that A = val(A) is in TP^trop, then for every k we have val(α_k) = a_k and
for every i is in [n] we have val(ρ_i) = η_i in which αk are coefficients of characteristic polynomial of A, a_k are
coefficients of characteristic polynomial of A, ρ_i are eigenvalues of A, and η_i are eigenvalues of A.
