توصيفگر ها :
حسابان كسري , معادلات انتشار كسري-مكاني , روش عناصر متناهي , موازي‌سازي در زمان , روش كاهش در زمان چندشبكه‌اي
چكيده فارسي :
امروزه معادلات ديفرانسيل جزئي كسري (FPDE) كاربردهايي در مسائل دنياي واقعي در حوزه‌هاي علوم و مهندسي پيدا كرده‌اند.
اين محبوبيت از ويژگي غيرموضعي مشتق كسري در مقايسه با ماهيت موضعي بودن مشتق مرتبه صحيح نتيجه مي‌شود.
يكي از مهم‌ترين FPDEها، معادله انتشار كسري-مكاني (SFD) است كه در مدل‌سازي انتشار غيرعادي، بررسي پديده‌هاي زيرانتشار و توصيف ديناميك‌هاي آشوبي كاربرد دارد.
معادله SFD با بعد دو مكاني به‌عنوان يك معادله انتشار كليدي شناخته مي‌شود.
اين معادلات از تعميم مشتقات مكاني مرتبه صحيح به مرتبه كسري در معادله ديفرانسيل مشتقات جزئي حاصل مي‌شود.
از آنجا كه اكثر معادلات SFD به‌صورت تحليلي قابل حل نيستند، روش‌هاي عددي مختلفي مانند روش تفاضل متناهي، رويكرد گالركين ناپيوسته موضعي و روش عناصر متناهي (FEM) براي دستيابي به دقت و كارايي بالا پيشنهاد شده‌اند.
با توجه به اين نكته كه مشتقات كسري برخلاف مشتقات صحيح غيرموضعي هستند.
در نتيجه صرف نظر از روش گسسته‌سازي مورد استفاده، حجم زيادي از محاسباتي به دليل غيرموضعي بودن عملگرهاي ديفرانسيل كسري مورد نياز است.
بسياري از محققان بر روي توسعه الگوريتم‌هاي سريع براي مقابله با اين چالش كار كرده‌اند.
علاوه بر اين راه‌حل‌هاي سريع، رويكردهاي محاسباتي موازي مانند كاهش در زمان چندشبكه‌اي (MGRIT) نيز بايد به‌عنوان روش‌هاي مؤثر در نظر گرفته شوند.
در اين پايان‌نامه، با بحث در مورد مفاهيم اساسي در آناليز تابعي، از جمله فضاهاي برداري، فضاهاي تابع و فضاهاي سوبولف و همچنين اصول حسابان كسري شروع مي‌كنيم و توضيح مي‌دهيم كه مشتق‌ها و انتگرال‌هاي كسري، پايه‌هاي حسابان كسري هستند و مشتق كسري ريس به‌طور مخصوص براي كاربردهاي حوزه مكاني مورد علاقه است.
در ادامه فضاهاي كسري مختلف مانند فضاهاي سوبولف كسري را بيان كرده و خواص آن‌ها را بررسي مي‌كنيم و به فضاهاي مرتبط با FPDEها نيز اشاره مي‌كنيم.
پس از آن، مسئله SFD را با شرايط مرزي ديريكله بررسي مي‌كنيم.
حال FEM را بيان كرده و خواص آن را توضيح مي‌دهيم.
سپس شكل ضعيف معادله SFD را مي‌سازيم و گسسته‌سازي مكاني-زماني را با استفاده از گسسته‌سازي مكاني يكنواخت و گسسته‌سازي زماني غيريكنواخت اعمال مي‌كنيم.
اين فرايند موجب توليد يك دستگاه بزرگ و تنك از معادلات مي‌شود.
براي حل عددي معادله SFD، روش را به‌عنوان يك حلقه پيشرو زماني نشان مي‌دهيم كه در آن يك دستگاه خطي در بعد مكاني در هر مرحله زماني حل مي‌شود.
اين حلقه پيشرو زماني به‌عنوان يك روش تك‌گامي در زمان نيز عمل مي‌كند و معادل با حل يك دستگاه بلوكي دوقطري پايين مثلثي در بعد زمان است.
پس روش‌هاي مختلفي را براي موازي‌سازي زماني مورد بحث قرار مي‌دهيم و يك تاريخچه مختصر ارائه مي‌كنيم.
يكي از روش‌هاي قابل توجه، MGRIT است كه از رويكرد كاهش چندشبكه‌اي استفاده مي‌كند.
روش MGRIT دو مزيت قابل توجه دارد: استقلال نسبي از كدهاي موجود و مقياس‌بندي الگوريتمي بهينه.
در ادامه، از نسخه دوسطحي MGRIT براي حل آن دستگاه بلوكي دوقطري پايين مثلثي استفاده كرده و به تحليل عملكرد همگرايي روش مي‌پردازيم.
در نهايت يك مثال عددي را در MATLAB و XBraid پياده‌سازي كرده و عملكرد روش‌هاي عددي را بررسي مي‌كنيم.
نتايج نشان مي‌دهد كه روش سازگاري و همگرايي كافي را براي حل‌هاي عددي چنين معادلات SFD نشان مي‌دهد و مي‌توان آن را براي حل برخي FPDEهاي پيچيده گسترش داد.
چكيده انگليسي :
Nowadays, temporal or spatial fractional partial differential equations (FPDEs) have found applications in real-world problems in science and engineering.
This popularity stems from the fractional derivative's nonlocal property compared to the local nature of the integer-order derivative.
One of the most important FPDEs is the space-fractional diffusion equation (SFD) which has applications in modeling anomalous diffusion, investigating subdiffusive phenomena, and describing chaotic dynamics.
SFD over two-dimensional spaces is widely recognized as a key diffusion equation.
It is derived from generalizing the spatial derivatives from integer order to fractional order within the partial differential equation.
Since most SFD equations can not be solved analytically, various numerical methods, such as the finite difference method, local discontinuous Galerkin approach, and finite element method (FEM), have been proposed to achieve both high accuracy and efficiency.
It is important to note that fractional derivatives use global information, while classical derivatives rely on local information.
As a result, regardless of the discretization method used, significant computational effort is required due to the nonlocality introduced by fractional differential operators.
Many researchers have worked on developing fast algorithms to address this challenge.
In addition to these rapid solutions, parallel computing approaches, such as multigrid reduction in time (MGRIT), should also be considered potential techniques.
In this thesis, we begin by discussing fundamental concepts in functional analysis, including vector spaces, function spaces, and Sobolev spaces, as well as the principles of fractional calculus.
We explain that fractional derivatives and integrals are foundational to fractional calculus, with the Ritz fractional derivative being particularly favored for applications in spatial domains.
Next, we examine various fractional spaces, such as fractional Sobolev spaces, and investigate their properties.
Additionally, we address spaces associated with FPDEs.
After that, we investigate the SFD problem with Dirichlet boundary conditions.
We start by explaining the FEM and its properties.
We construct the weak form of the SFD equation and apply space-time discretization, utilizing uniform spatial discretization and non-uniform temporal discretization.
This process results in a large, sparse system of equations.
To solve the SFD equation numerically, we represent the method as a time-marching loop, where a spatial linear system is solved at each time step.
This time-marching loop acts as a one-step temporal method, similar to solving a lower bidiagonal block system over time.
We also discuss various schemes for temporal parallelization and provide a brief historical context.
One notable technique is MGRIT, which utilizes a multigrid reduction approach.
The MGRIT offers two significant advantages: it minimizes interference with existing codes and allows optimal scalability.
Subsequently, we employ a two-stage version of the MGRIT method to solve the lower bidiagonal system of the block unit and analyzing its convergence performance.
Finally, we implement a numerical example in MATLAB and XBraid and examine some tests.
The results indicate that the method demonstrates adequate consistency and convergence for numerical solutions of such SFD equations, and it can be extended to solve some complicated FPDEs.
